Question

11．已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²-4ax+1與x軸的正半軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且OB=3OC，點P是第一象限內的點，連接BC，△PBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形．
（1）求這個拋物線的表達式；
（2）求點P的坐標；
（3）點Q在x軸上，若以Q、O、P為頂點的三角形與以點C、A、B為頂點的三角形相似，求點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可得出結論；
（2）先判斷出△PMC≌△PNB，再用PC²=PB²，建立方程求解即可；
（3）先判斷出點Q只能在點O左側，再分兩種情況討論計算即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-4ax+1，
∴點C的坐標為（0，1）．
∵OB=3OC，
∴點B的坐標為（3，0）．
∴9a-12a+1=0，
∴$a=\frac{1}{3}$．
∴$y=\frac{1}{3}{x^2}-\frac{4}{3}x+1$．
（2）如圖，

過點P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，垂足分別為點M、N．
∵∠MPC=90°-∠CPN，∠NPB=90°-∠CPN，
∴∠MPC=∠NPB．
在△PCM和△PBN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMC=∠PNB}\\{∠MPC=∠NPB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△PMC≌△PNB，
∴PM=PN．
設點P（a，a）．
∵PC²=PB²，
∴a²+（a-1）²=（a-3）²+a²．
解得a=2．
∴P（2，2）．
（3）∵該拋物線對稱軸為x=2，B（3，0），
∴A（1，0）．
∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），
∴PO=$2\sqrt{2}$，AC=$2\sqrt{2}$，AB=2．
∵∠CAB=135°，∠POB=45°，
在Rt△BOC中，tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$，
∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，
在Rt△OAC中，OC=OA，
∴∠OCA=45°，
∴∠ACB＜45°，
∴當△OPQ與△ABC相似時，點Q只有在點O左側時．
（i）當$\frac{AC}{AB}=\frac{OP}{OQ}$時，∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{OQ}$，
∴OQ=4，
∴Q（-4，0）．
（ii）當$\frac{AC}{AB}=\frac{OQ}{OP}$時，∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{OQ}{{2\sqrt{2}}}$，
∴OQ=2，
∴Q（-2，0）．
當點Q在點A右側時，
綜上所述，點Q的坐標為（-4，0）或（-2，0）．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了待定系數法，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的性質，解本題的關鍵是判斷出點Q只能在點O的左側，是一道很好的中考常考題．