Question

7．如果點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|，那么|AB|=|a-b|，根據(jù)這個(gè)公式解答下列問題：
（1）數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是3，數(shù)軸上表示-2和-5兩點(diǎn)之間的距離是3；數(shù)軸上表示1和-$\sqrt{3}$兩點(diǎn)之間的距離是1+$\sqrt{3}$．
（2）若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)x和-$\sqrt{2}$，且|AB|=3，求x的值；
（3）若數(shù)軸上的三點(diǎn)P、A、B分別表示實(shí)數(shù)x，-$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$，求當(dāng)代數(shù)式|x+$\sqrt{2}$|+|x-$\sqrt{3}$|取最小值時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用|AB|=|a-b|，分別求出答案；
（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式可知AB=|x+$\sqrt{2}$|=3，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出x的值即可；
（3）由線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，可知當(dāng)-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{3}$時(shí)，|x+$\sqrt{2}$|+|x-$\sqrt{3}$|有最小值．

解答 解：（1）數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是：|2-5|=3，
數(shù)軸上表示-2和-5兩點(diǎn)之間的距離是：|-2-（-5）|=3，
數(shù)軸上表示1和-$\sqrt{3}$兩點(diǎn)之間的距離是：|1-（-$\sqrt{3}$）|=1+$\sqrt{3}$；
故答案為：3，3，1+$\sqrt{3}$；

（2）∵數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)x和-$\sqrt{2}$，且|AB|=3，
∴|x+$\sqrt{2}$|=3，
則x+$\sqrt{2}$=±3，
解得：x=-$\sqrt{2}$±3；

（3）如圖，代數(shù)式|x+$\sqrt{2}$|取最小值時(shí)，即P到A、B的距離之和最小，
此時(shí)，P在A、B之間，
則-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸、絕對(duì)值，解答此題的關(guān)鍵是要明確：|x-a|既可以理解為x與a的差的絕對(duì)值，也可理解為x與a兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．