Question

有若干個數，第一個記作a₁，第二個記作a₂，第三個記作a₃，第n個記作a_n；若a是不為1的有理數，把

1

1-a

叫做1與a的差的倒數；若a₁=-

1

2

，從第二個數起，每個數等于“1與前面那個數的差的倒數”．
（1）試計算a₂=______a₃=______，a₄=______，
（2）根據前面計算的規律，猜想出a₂₀₀₀，a₂₀₀₃，a₂₀₀₈的值分別為______，______，______．

Answer 1

（1）根據題中的定義可知：
a₁=-

1

2

，
a₂=

1

1-a1

=

2

3

，
a₃=

1

1-a2

=3，
a₄=

1

1-a3

=-

1

2

；

（2）由a₁，a₂，a₃，a₄可以得出a₄=a₁，
說明是循環的，則a₁=a_3n+1，a₂=a_3n+2，a₃=a_3n+3
a₂₀₀₀=a_666×3+2=a₂=

2

3

，a₂₀₀₃=a_667×3+2=a₂=

2

3

，a₂₀₀₈=a_669×3+1=a₁=-

1

2

，
故答案為：（1）：

2

3

，3，-

1

2

，（2）：

2

3

，

2

3

，-

1

2

．