Question

11．如圖，已知⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，AC平分∠BAD，CD⊥AD于D，AD交⊙O于E．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為8cm，CD=2$\sqrt{3}$cm，求弦AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線得出∠2=∠3，證出∴OC∥AD，再由已知條件得出CD⊥OC，即可得出結論；
（2）作OF⊥AE于F，則AF=$\frac{1}{2}$AE，四邊形OFDC是矩形，得出OF=CD=2$\sqrt{3}$cm，由勾股定理求出AF，即可得出AE的長．

解答 （1）證明：連接OC，如圖所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴CD⊥OC，
∴CD為⊙O的切線；
（2）解：作OF⊥AE于F，如圖2所示：
則AF=$\frac{1}{2}$AE，四邊形OFDC是矩形，
∴OF=CD=2$\sqrt{3}$cm，
∵OA=$\frac{1}{2}$AB=4cm，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴AE=2AF=4．

點評 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識；本題綜合性強，熟練掌握切線的判定和垂徑定理是解決問題的關鍵．