Question

16．如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．
（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說理由；若不變，求出它的度數．
（3）如圖2，若點P、Q在分別運動到點B和點C后，繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC=120度．（直接填寫度數）

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根據全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根據全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵點P、Q運動速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ與△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）解：點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；

（3）解：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°．
故答案為：120°．

點評 本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．