Question

4．認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問題．
探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發現∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（1）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A
有怎樣的關系？請說明理由．
（2）探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A
有怎樣的關系？（直接寫出結論）
（3）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關系？（直接寫出結論）

Answer 1

分析 （1）根據角的平分線的定義以及三角形的外角的性質即可求解；
（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根據角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后根據三角形內角和定理列式整理即可得解；
（3）根據四邊形內角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根據角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形內角和定理列式整理即可得解．

解答 解：（1）探究2結論：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC，
又∵∠OCD是△BOC的一個外角，
∴∠BOC=∠OCD-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）探究3：結論∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由是：∵BO平分∠BDC，CO平分∠ECB，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ECB，
又∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠BOC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC+∠ACB+∠A）=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
又∵∠BOC=180°-（∠BOC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）拓展：結論∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）．
理由是：∵BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠DCB），
又∵∠ABC+∠DCB+∠A+∠D=360°，即∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（360°-∠A+∠D），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）．

點評 本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的內角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關鍵．