Question

已知：如圖，二次函數的圖象是由y= -x2向右平移1個單位，再向上平移4個單位所得到，這時圖像與x軸的交點為A、B（A在B的左邊），與y軸交于點C。

（1）求二次函數的解析式；

（2）若點P是拋物線對稱軸 上一動點，求使AP+CP最小的點P的坐標.

Answer 1

（1）y=-（x-1）2+4，（2）點P的坐標為（1，2）．

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數圖象“左加右減，上加下減”的平移規律即可得到新的二次函數的解析式和對稱軸；

（2）連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC．點A關于對稱軸x=1的對稱點是點B （3，0），由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小，依此求點P的坐標．

試題解析：（1）二次函數的解析式：y=-（x-1）2+4，對稱軸為直線x=1；

（2）連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC．要使PA+PC最小．

∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是點B（3，0），拋物線y=-x2+2x+3與y軸交點C的坐標為（0，3）．

∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小

設直線BC的解析式為y=kx+3，將B（3，0）代入3k+3=0，得k=-1．

∴y=-x+3，

∴當x=1時，y=2．

∴點P的坐標為（1，2）．

考點：二次函數綜合題．