Question

小明在探究問題“正方形ABCD內一點E到A、B、C三點的距離之和的最小值”時，由于EA、EB、EC比較分散，不便解決．于是將△ABE繞點B逆時針旋轉60°得△AnBEn，連接EE′．
（1）小明得到的△EBE'是什么三角形？（直接寫出結果，不必說出理由）
（2）圖1中連接A′C，試比較AE+BE+CE與A′C的大小．
（3）當點E在正方形ABCD內移動時，猜測AE+BE+CE有無最小值？如有利用圖2畫出符合題意的圖示并說出理由；如果不存在最小值，簡述理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質可以得到：BE=BE′，∠EBE′=60°，則△BEE′是等邊三角形；
（2）根據等邊三角形的性質以及旋轉的性質可以證得：AE+BE+CE≥A′C，進而即可證得；
（3）根據兩點之間線段最短，即可得到：ABE繞點B逆時針旋轉60°得△AnBEn，當E落在AnC上（顯然此時En也落在AnC上）時，AnC就是EA+EB+EC的最小值．
解答：解：（1）△BEE′是等邊三角形，（2分）

（2）AE+BE+CE≥A′C．（3分）
理由：∵△BEE′是等邊三角形，
∴EE′=BE，
由旋轉可知：AE=A′E′，
∴AE+BE+CE=A′E′+EE′+CE≥A′C；（5分）

（3）AE+BE+CE存在最小值．如圖△ABE繞點B逆時針旋轉60°得△AnBEn，當E落在AnC上（顯然此時En也落在AnC上）時，AnC就是EA+EB+EC的最小值．（兩點之間線段最短）．（9分）
點評：本題主要考查了旋轉的性質，在旋轉的過程中注意：旋轉前后對應角相等，兩個三角形是否成對稱軸應看三角形是否全等，對應邊相對于對稱軸的位置是否相等．