Question

小明在探究問題“正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值”時(shí)，由于EA、EB、EC比較分散，不便解決．于是將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AnBEn，連接EE′．
（1）小明得到的△EBE'是什么三角形？（直接寫出結(jié)果，不必說出理由）
（2）圖1中連接A′C，試比較AE+BE+CE與A′C的大小．
（3）當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)移動(dòng)時(shí)，猜測AE+BE+CE有無最小值？如有利用圖2畫出符合題意的圖示并說出理由；如果不存在最小值，簡述理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到：BE=BE′，∠EBE′=60°，則△BEE′是等邊三角形；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證得：AE+BE+CE＞A′C，進(jìn)而即可證得；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到：ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AnBEn，當(dāng)E落在AnC上（顯然此時(shí)En也落在AnC上）時(shí)，AnC就是EA+EB+EC的最小值．

解答：解：（1）△BEE′是等邊三角形，（2分）
（2）AE+BE+CE≥A′C．（3分）
理由：在△AFC和△BEC中，
∵△BEE′是等邊三角形，
∴EE′=BE，
由旋轉(zhuǎn)可知：AE=A′E′，
∴AE+BE+CE=A′E′+EE′+CE≥A′C；（5分）

（3）AE+BE+CE存在最小值．如圖△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AnBEn，當(dāng)E落在AnC上（顯然此時(shí)En也落在AnC上）時(shí)，AnC就是EA+EB+EC的最小值．（兩點(diǎn)之間線段最短）．（9分）

點(diǎn)評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，在旋轉(zhuǎn)的過程中注意：旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等，兩個(gè)三角形是否成對稱軸應(yīng)看三角形是否全等，對應(yīng)邊相對于對稱軸的位置是否相等．