Question

如圖，已知 ，，現以A點為位似中心，相似比為9:4，將OB向右側放大，B點的對應點為C．

（1）求C點坐標及直線BC的解析式;

（2）一拋物線經過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數圖象;

（3）現將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P．

Answer 1

解：（1）過C點向x軸作垂線，垂足為D，由位似圖形性質可知：

△ABO∽△ACD， ∴．

由已知，可知： ．

∴．∴C點坐標為．

直線BC的解析是為：

化簡得：  

（2）設拋物線解析式為，由題意得： ，

解得：      

∴解得拋物線解析式為或．

又∵的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去．

∴滿足條件的拋物線解析式為

（準確畫出函數圖象）

（3） 將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P，設P到 直線AB的距離為h，

故P點應在與直線AB平行，且相距的上下兩條平行直線和上．

由平行線的性質可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為_．

設與y軸交于E點，過E作EF⊥BC于F點，

在Rt△BEF中 ，，

∴．∴可以求得直線與y軸交點坐標為

同理可求得直線與y軸交點坐標為

∴兩直線解析式；．

根據題意列出方程組： ⑴；⑵

∴解得：；；；

∴滿足條件的點P有四個，它們分別是，，，