Question

我們通過計算發現：拋物線y=x²+2x-1的頂點（-1，-2）在拋物線y=-x²+2x+1上，同時拋物線y=-x²+2x+1的頂點（1，2）也在拋物線y=x²+2x-1上，這時我們稱這兩條拋物線是相關的．
（1）問：拋物線y=x²-2x-1與拋物線y=-x²-2x+1是否相關，并說明理由．
（2）如圖，已知拋物線C：y=

1

8

（x+1）²-2，頂點為M．
①若有一動點P的坐標為（m，2），現將拋物線C繞點P（m，2）旋轉180°得到新的拋物線C′，且拋物線C與新的拋物線C′相關，求拋物線C′的解析式．
②若拋物線C′與C相關，頂點為N，現以MN為斜邊作等腰直角△MNQ，問y軸上是否存在滿足要求的點Q？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先找出前后兩個拋物線的頂點，然后將它們的頂點分別代入對方的拋物線解析式中進行驗證，若各自的頂點分別在對方的拋物線圖象上，即可確定兩者相關，反之則不能．
（2）①拋物線C′是由拋物線C繞點P（m，2）旋轉180゜所得，那么兩條拋物線的頂點關于點P對稱，據此求出拋物線C′的頂點坐標，若拋物線C、C′相關，那么拋物線C′的頂點必在拋物線C的函數圖象上，因此只需將C′的頂點代入拋物線C中求解即可；
②在①中已求出拋物線C′的頂點，先設出點Q的坐標，然后由坐標系兩點間的距離公式求出MQ²、NQ²、MN²，若△MNQ是以MN為斜邊的等腰直角三角形，那么必須滿足：MQ²=MN²，且MQ²+NQ²=MN²，若兩式成立，那么存在符合條件的Q點，反之，則不存在．

解答：解：（1）拋物線y=x²-2x-1的頂點坐標為：（1，-2）；
拋物線y=-x²-2x+1的頂點坐標為：（-1，2）；
①當x=1時，y=-x²-2x+1=-1-2+1=-2，∴點（1，-2）在拋物線y=-x²-2x+1上；
②當x=-1時，y=x²-2x-1=1+2-1=2，∴點（-1，2）在拋物線y=x²-2x-1上；
因此，拋物線y=x²-2x-1與拋物線y=-x²-2x+1相關．

（2）①拋物線C：y=

1

8

（x+1）²-2的頂點M（-1，-2）；
由于拋物線C′是拋物線C繞點P（m，2）旋轉180゜所得，所以拋物線C、C′的頂點關于點P對稱，
∴拋物線C′的頂點坐標M′（

2m+1

2

，6），拋物線C′：y=-

1

8

（x-

2m+1

2

）²+6；
已知拋物線C和拋物線C′相關，那么點M′必在拋物線C的函數圖象上，即：
6=

1

8

（

2m+1

2

+1）²-2，解得：m₁=

13

2

、m₂=-

19

2

；
∴拋物線C′的解析式為：y=-

1

8

（x-7）²+6或y=-

1

8

（x+9）²+6．

②由①得：點N的坐標為（7，6）或（-9，6）；
已知：M（-1，-2），設點Q的坐標為（0，m），則：
當N點�。�7，6）時，MN²=（7+1）²+（6+2）²=128、NQ²=（7-0）²+（6-m）²=m²-12m+85、MQ²=（-1-0）²+（-2-m）²=m²+4m+5
令，MQ²=NQ²，則 m²-12m+85=m²+4m+5，m=5
此時，MQ²+NQ²=50+50=100≠MN²
∴當N（7，6）時，不存在符合條件的Q點，使得△MNQ是等腰直角三角形；
同理可得：當N取（-9，6）時，也不存在符合條件的Q點；
綜上，不存在符合條件的點Q，使得△MNQ是等腰直角三角形．

點評：解答該題首先要充分理解題干資料所表達的含義，圍繞二次函數的性質、圖形的旋轉、等腰直角三角型的判定和性質等重點知識對題目展開分析；（2）①的難度較大，找出兩個拋物線頂點間的關系是突破題目的關鍵所在．此外，還要注意類似題目間的聯系，如：將（2）②的“拋物線C′”改為“拋物線C″”時，解題的過程就會有很大不同，此時，可分別過M、N作y軸的垂線，通過構建全等三角形來得出點N的坐標．