Question

10．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）當(dāng)∠A=40°時，求∠DEF的度數(shù)；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）求出EC=DB，∠B=∠C，根據(jù)SAS推出△BED≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=EF即可；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=70°，根據(jù)全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；
（3）根據(jù)等腰直角三角形得出∠DEF=90°，求出∠B=90°，∠C=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．

解答 （1）證明：∵AD+EC=AB=AD+DB，
∴EC=DB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠B=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFE，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）解：∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=70°，
∵由（1）知△BED≌△CFE，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE=180°-∠B=110°，
∴∠DEF=180°-（∠DEB+∠FEC）=70°；

（3）解：∵若△DEF是等腰直角三角形，則∠DEF=90°，
∴∠DEB+∠BDE=90°，
∴∠B=90°，因而∠C=90°，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能靈活運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．