Question

如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長AB＝6，BC＝4，點F在DC
上，DF＝2．動點M、N分別從點D、B同時出發，沿射線DA、線段BA向點A的方向運動（點M可運動到DA的延長線上），當動點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動．連接FM、MN、FN，當F、N、M不在同一直線時，可得△FMN，過△FMN三邊的中點作△PQW．設動點M、N的速度都是1個單位／秒，M、N運動的時間為x秒．試解答下列問題：
小題1:DM=___▲____,  AN=___▲____（用含x的代數式表示）
小題2:說明△FMN ∽ △QWP；
小題3:試問為何值時，△PQW為直角三角形？

小題4:問當為____▲_____時，線段MN最短？

Answer 1

小題1:         ( 2分)
小題2:∵P、Q、W分別為△FMN三邊的中點
∴PQ∥FN，PW∥MN
∴∠MNF＝∠PQM＝∠QPW
同理：∠NFM＝∠PQW
∴△FMN ∽ △QWP    (2分)
小題3:由⑴得△FMN ∽ △QWP，所以△FMN為直角三角形時，△QWP也為直角三角形．如圖，過點N作NECD于E，根據題意，得DM＝BM＝，∴AM＝4－，AN＝DE＝6－
∵DF＝2，∴EF＝4－
∴MF²＝2²＋x²＝x²＋4，MN²＝（4－x）²＋（6－x）²＝2x²－20x＋52，
NF²＝（4－x）²＋4²＝x²－8x＋32,
① 如果∠MNF＝90°，
有2x²－20x＋52＋x²－8x＋32＝x²＋4，
解得x₁＝4，x₂＝10（舍去）；
②如果∠NMF＝90°，
有2x²－20x＋52＋x²＋4＝x²－8x＋32，
化簡，得：x²－6x＋12＝0，△＝－12＜0， 方程無實數根；
③如果∠MFN＝90°，
有2x²－20x＋52＝x²＋4＋x²－8x＋32，
解得x＝．
∴當為4或時，△PQW為直角三角形   (3分)
小題4:當＝5時，線段MN最短．(2分)

（1）利用圖示求得；
（2）由平行線的性質可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；
（3）當△FMN是直角三角形時，△QWP也為直角三角形，當MF⊥FN時，證得△DFM∽△GFN，有DF：FG=DM：GN，得到4-x=2x，求得x此時的值，當MG⊥FN時，點M與點A重合，點N與點G重合，此時x=AD=4；
（4）當點F、M、N在同一直線上時，MN最短，設經過的時間為x，AM的長度為（4-x），AN的長度為（6-x），再由△MAN∽△MBF即可求出答案．