Question

4．如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，已知∠CAB=90°，AB=AC，A（-2，0），B（0，1）．
（1）求點C的坐標；
（2）將△ABC沿x軸正方向平移，在第一象限內B，C兩點的對應點B′，C′恰好落在某反比例函數圖象上，求該反比例函數的解析式；
（3）若把上一問中的反比例函數記為y₁，點B′，C′所在的直線記為y₂，請直接寫出在第一象限內當y₁＜y₂時x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作CN⊥x軸于點N，根據HL證明Rt△CAN≌Rt△AOB，求出NO的長度，進而求出d；
（2）設△ABC沿x軸的正方向平移c個單位，用c表示出C′和B′，根據兩點都在反比例函數圖象上，求出k的值，進而求出c的值，即可求出反比例函數和直線B′C′的解析式；
（3）直接從圖象上找出y₁＜y₂時，x的取值范圍．

解答 解：（1）作CN⊥x軸于點N，
∵A（-2，0）B（0，1）．
∴OB=1，AO=2，
在Rt△CAN和Rt△AOB，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CN=AO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CAN≌Rt△AOB（HL），
∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，
又∵點C在第二象限，
∴C（-3，2）；

（2）設△ABC沿x軸的正方向平移c個單位，
則C′（-3+c，2），則B′（c，1）
又點C′和B′在該比例函數圖象上，
把點C′和B′的坐標分別代入y₁=$\frac{k}{x}$，
得-6+2c=c，
解得c=6，
即反比例函數解析式為y₁=$\frac{6}{x}$，
（3）此時 C′（3，2），B′（6，1），
設直線B′C′的解析式y₂=mx+n，
∵$\left\{\begin{array}{l}{2=3m+n}\\{1=6m+n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=3}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴直線C′B′的解析式為y₂=-$\frac{1}{3}$x+3；
由圖象可知反比例函數y₁和此時的直線B′C′的交點為 C′（3，2），B′（6，1），
∴若y₁＜y₂時，則3＜x＜6．

點評 本題主要考查了反比例函數的綜合題的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質以及平移的知識，解決第（2）問關鍵求出c的值，此題難度不是很大．