Question

（2012•南京）如圖，A、B是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角．
（1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，
①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=

90

°；
②若⊙O的半徑是1，AB=

2

，求∠APB的度數(shù)；
（2）已知O₂是⊙O₁外一點(diǎn)，以O(shè)₂為圓心作一個(gè)圓與⊙O₁相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB是⊙O₁上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交⊙O₂于M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°即可求解；
②根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分點(diǎn)P在優(yōu)弧

AB

上；點(diǎn)P在劣弧

AB

上兩種情況討論求解；
（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O₁上的位置分為四種情況得到∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=90．
②如圖，連接AB、OA、OB．
在△AOB中，
∵OA=OB=1．AB=

2

，
∴OA²+OB²=AB²．
∴∠AOB=90°．
當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧

APB

上時(shí)，∠AP₁B=

1

2

∠AOB=45°；
當(dāng)點(diǎn)P在劣弧

AB

上時(shí)，∠AP₂B=

1

2

（360°-∠AOB）=135°…6分

（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O₁上的位置分為以下四種情況．

第一種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖①
∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB；
第二種情況：點(diǎn)P在⊙O₂外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖②．
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°-∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°；
第三種情況：點(diǎn)P在⊙O₂外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖③．
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB，
第四種情況：點(diǎn)P在⊙O₂內(nèi)，如圖④，
∠APB=∠MAN+∠ANB．

點(diǎn)評(píng)：綜合考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，本題難度較大，注意分類思想的運(yùn)用．