Question

1．如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，連接OE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CD=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD、BD，求出BD⊥AC，AD=DC，根據(jù)三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）解直角三角形求出BC、BD，求出AB得出OD，根據(jù)三角形的面積公式求出高DE，在△ODE中，根據(jù)勾股定理求出OE即可．

解答 （1）證明：連接OD、BD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D為AC中點(diǎn)，
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵CD=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，
∴cos30°=$\frac{CD}{BC}$，
∴BC=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∵BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴OD=1，
在Rt△CDB中，由三角形面積公式得：BC×DE=BD×CD，
1×$\sqrt{3}$=2DE，
DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，含30度角的直角三角形，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．