Question

如圖，在平面直角坐標系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有一個頂點落在函數y=x的圖象上，從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S₁、S₂、S₃、…、S_n，則S_n的值為　　　　　　．（用含n的代數式表示，n為正整數）

　

　

Answer 1

　2^4n﹣5　．

【考點】正方形的性質；一次函數圖象上點的坐標特征．

【專題】壓軸題；規律型．

【分析】根據直線解析式判斷出直線與x軸的夾角為45°，從而得到直線與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，再根據點A的坐標求出正方形的邊長并得到變化規律表示出第n個正方形的邊長，然后根據陰影部分的面積等于一個等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個直角三角形的面積列式求解并根據結果的規律解答即可．

【解答】解：∵函數y=x與x軸的夾角為45°，

∴直線y=x與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，

∵A（8，4），

∴第四個正方形的邊長為8，

第三個正方形的邊長為4，

第二個正方形的邊長為2，

第一個正方形的邊長為1，

…，

第n個正方形的邊長為2^n﹣1，

由圖可知，S₁=×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2=，

S₂=×4×4+×（4+8）×8﹣×（4+8）×8=8，

…，

S_n為第2n與第2n﹣1個正方形中的陰影部分，

第2n個正方形的邊長為2^2n﹣1，第2n﹣1個正方形的邊長為2^2n﹣2，

S_n=•2^2n﹣2•2^2n﹣2=2^4n﹣5．

故答案為：2^4n﹣5．

【點評】本題考查了正方形的性質，三角形的面積，一次函數圖象上點的坐標特征，依次求出各正方形的邊長是解題的關鍵，難點在于求出陰影S_n所在的正方形和正方形的邊長．