Question

3．四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，AB=10公里，BC=20公里，在新農村建設中，要設立兩個車站E，F則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為18$\sqrt{5}$公里．

Answer 1

分析 連接BD，分別過A、C作BD的垂線，此時BE、EF、FD共線，且AE、CF到對角線的距離最短，所以此時，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用相似分別求出BF、FC的長，同理再求AE、BE的長，或利用相等證明也可以，相加即可得出結論．

解答 解：連接BD，分別過A、C作BD的垂線，垂足分別為E、F，
此時EA+EB+EF+FC+FD為最小值，
則∠AED=∠BFC=90°，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=10，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{2{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
∵∠DBC=∠DBC，∠BFC=∠BCD=90°，
∴△BFC∽△BCD，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{FC}{CD}=\frac{BF}{BC}$，
∴$\frac{20}{10\sqrt{5}}$=$\frac{FC}{10}=\frac{BF}{20}$，
∴FC=4$\sqrt{5}$，BF=8$\sqrt{5}$，
同理得：AE=4$\sqrt{5}$，
∴BE=FD=2$\sqrt{5}$，
∴EA+EB+EF+FC+FD=4$\sqrt{5}$+10$\sqrt{5}$+4$\sqrt{5}$=18$\sqrt{5}$，
則EA+EB+EF+FC+FD的最小值是18$\sqrt{5}$．
故答案為：18$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了矩形的性質和最短路徑問題，確定最小值時點E和F的位置是本題的關鍵，利用相似或全等、勾股定理求其邊長，從而得出結論．