Question

矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是對(duì)角線BD上不重合的兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AD，AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F，點(diǎn)Q關(guān)于直線BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)G、H．若由點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形恰好為菱形，則PQ的長(zhǎng)為　   　．

Answer 1

2.8。

由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得對(duì)角線AC=BD=5。
依題意畫(huà)出圖形，如圖所示。

由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，
∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°。
∴點(diǎn)A在菱形EFGH的邊EF上．同理可知，點(diǎn)B、C、D均在菱形EFGH的邊上。
∵AP=AE=AF，∴點(diǎn)A為EF中點(diǎn)．同理可知，點(diǎn)C為GH中點(diǎn)。
連接AC，交BD于點(diǎn)O，則有AF=CG，且AF∥CG，
∴四邊形ACGF為平行四邊形。
∴FG=AC=5，即菱形EFGH的邊長(zhǎng)等于矩形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)。
∴EF=FG=5。
∵AP=AE=AF，∴AP=EF=2.5。
∵OA=AC=2.5，∴AP=AO，即△APO為等腰三角形。
過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BD交BD于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為OP的中點(diǎn)。
由S_△ABD=AB•AD=AC•AN，可求得：AN=2.4。
在Rt△AON中，由勾股定理得：，∴OP=2ON=1.4。
同理可求得：OQ=1.4。
∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8。