Question

【題目】如圖，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長AM交BC于點(diǎn)N，連接DM，NE．下列結(jié)論：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等邊三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE．其中正確的結(jié)論有（　　）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半以及角平分線的性質(zhì)計(jì)算得出∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可判斷①②③；利用ASA證明△FBD≌△NAD，判斷④；利用SAS證明△EBA≌△EBN，判斷⑤；從而得到結(jié)論.

∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，

∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝45°＝∠CAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，

∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，

∴AF＝AE，故①正確；③錯(cuò)誤，

∵M為EF的中點(diǎn)，

∴AM⊥EF，故②正確；

∵AM⊥EF，

∴∠AMF＝∠AME＝90°，

∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，

在△FBD和△NAD中，

，

∴△FBD≌△NAD（ASA），

∴DF＝DN，故④正確；

∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°，

∴BA＝BN，

∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE，

∴△EBA≌△EBN（SAS），

∴∠BNE＝∠BAM＝90°，

∴∠ENC＝∠ADC＝90°，

∴AD∥EN．故⑤正確，

綜上：①②④⑤正確，共4個(gè)，

故選：D．