Question

如圖，拋物線：與軸交于點A(－2，0)和B(4，0)、與軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)T是拋物線對稱軸上的一點，且△ACT是以AC為底的等腰三角形，求點T的坐標；

(3)點M、Q分別從點A、B以每秒1個單位長度的速度沿軸同時出發相向而行．當點M到原點時，點Q立刻掉頭并以每秒個單位長度的速度向點B方向移動，當點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動．過點M的直線l⊥軸，交AC或BC于點P．求點M的運動時間t(秒)與△APQ的面積S的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）把A（－2，0）、B(4，0)代入，得

      ，解得            …………1分

     ∴拋物線的解析式為：。          …………1分

（2）由，得拋物線的對稱軸為直線，

直線交軸于點D，設直線上一點T(1，)，  …………1分

作CE⊥直線，垂足為E，

由C(0，4)得點E(1，4)，                     …………1分

在Rt△ADT和Rt△TEC中，

由TA＝TC得，          …………1分

解得，∴點T的坐標為(1，1).             …………1分

（3）解：（Ⅰ）當時，△AMP∽△AOC ，

∴，。  …………1分

∴      …………1分

∵當時，S隨的增加而增加，

∴當時，S的最大值為8。                         …………1分

（Ⅱ）當時，作PF⊥y軸于F，

有△COB∽△CFP，

又CO＝OB，

∴FP＝FC＝，

                   …………1分

∴   …………1分

∴當時，S的最大值為。                               …………1分

綜上所述，S的最大值為。