Question

如圖是二次函數y=（x+m）²+k的圖象，其頂點坐標為M（1，-4）．
（1）求出圖象與x軸的交點A，B的坐標；
（2）設拋物線與y軸交于點C，求△BCM的面積．
（3）在圖中的拋物線上是否還存在點P，使得S_△PMB=S_△BCM？如果不存在，說明理由；如存在，請直接寫出P點的個數．

Answer 1

分析：（1）所給二次函數解析式是頂點式，而頂點坐標是（1，-4），易求m、k的值，再把所求m、k的值代入二次函數中，令y=0，解關于x的一元二次方程，可求x=3或x=-1，進而可得A、B的坐標；
（2）令二次函數中的x=0，易求y=-3，從而可得C點坐標（0，-3），由于B、C、M三點坐標都是已知的，根據兩點之間的距離公式，易求BC=

18

，BM=

20

，CM=

2

，而BC²+CM2=BM²，根據勾股定理逆定理可知△BCM是直角三角形，進而可求其面積；
（3）根據同底等高的三角形面積相等，那么過點C作BM的平行線，觀察可知與拋物線有2個交點，故P點的個數是2．

解答：解：（1）根據題意，可得-m=1，k=-4，
解得m=-1，k=-4，
把m=-1，k=-4代入函數解析式，得
y=（x-1）²-4，
令y=0，得（x-1）²-4=0，
解得x=3或x=-1，
∴A點坐標是（-1，0），B點坐標是（3，0）；

（2）令x=0，得y=-3，
∴拋物線和y軸的交點C的坐標是（0，-3），
∵B（3，0），C（0，-3），M（1，-4），
∴BC=

18

，BM=

20

，CM=

2

，
∴BC²+CM²=BM²，
∴△BCM是直角三角形，
∴S_△BCM=

1

2

×

2

×

18

=3；

（3）過點C作BM的平行線，可觀察與拋物線有兩個交點，
故點P的個數是2．

點評：本題考查了二次函數綜合題，解題關鍵是注意掌握二次函數頂點式的表示方法，以及求任意三角形面積時，要先考慮是否是直角三角形，同底等高的三角形面積相等．