Question

如圖，已知點E在△ABC的邊AB上，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，且D在以AE為直徑的⊙O上．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）已知∠B=28°，⊙O的半徑為6，求線段AD的長．（結果精確到0.1）

Answer 1

分析：（1）連接OD，可證得AC∥OD，即可得出∠ODC=90°，即BC是⊙O的切線；
（2）連接DE，在直角三角形ADE中，利用∠BAD的余弦值求出線段AD的長．

解答：（1）證明：連接OD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠DAC，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，
即BC是⊙O的切線；

（2）解：連接DE．
∵∠B=28°，∴∠BAC=62°，
即∠BAD=31°，
∵AE為⊙O的直徑，∴∠ADE=90°，
∵OA=6，∴AE=12，
∴cos∠DAE=

AD

AE

，
∴AD=AE•cos31°=12×0.86≈10.3．

點評：本題考查了切線的判定和性質以及解直角三角形，是基礎知識要熟練掌握．