Question

如果方程

x

x-2

+ 

x-2

x

+ 

2x+a

x(x-2)

=0只有一個實數根，求a的值及對應的原方程的根．

Answer 1

分析：先將原方程變形，轉化為整式方程后得2x²-2x+（a+4）=0①．由于原方程只有一個實數根，因此，方程①的根有兩種情況：（1）方程①有兩個相等的實數根，此二等根使x（x-2）≠0；（2）方程①有兩個不等的實數根，而其中一根使x（x-2）=0，另外一根使x（x-2）≠0．針對每一種情況，分別求出a的值及對應的原方程的根．

解答：解：去分母，將原方程兩邊同乘x（x-2），整理得2x²-2x+（a+4）=0．①
方程①的根的情況有兩種：
（1）方程①有兩個相等的實數根，即△=4-4•2（a+4）=0．
解得a=-

7

2

．
當a=-

7

2

時，解方程2x²-2x+（-

7

2

+4）=0，得x₁=x₂=

1

2

．
（2）方程①有兩個不等的實數根，而其中一根使原方程分母為零，即方程①有一個根為0或2．
（i）當x=0時，代入①式得a+4=0，即a=-4．
當a=-4時，解方程2x²-2x=0，x（x-1）=0，x₁=0或x₂=1．
而x₁=0是增根，即這時方程①的另一個根是x=1．它不使分母為零，確是原方程的唯一根．
（ii）當x=2時，代入①式，得2×4-2×2+（a+4）=0，即a=-8．
當a=-8時，解方程2x²-2x-4=0，（x-2）（x+1）=0，x₁=2或x₂=-1．
而x₁=2是增根，即這時方程①的另一個根是x=-1．它不使分母為零，確是原方程的唯一根．
因此，若原分式方程只有一個實數根時，所求的a的值分別是-

7

2

，-4，-8，其對應的原方程的根依次為

1

2

，1，-1．

點評：本題考查了分式方程的解法及增根問題．由于原分式方程去分母后，得到一個含有字母的一元二次方程，所以要分情況進行討論．理解分式方程產生增根的原因及一元二次方程解的情況從而正確進行分類是解題的關鍵，本題屬于競賽題型，有一定難度．