Question

推理運算
已知點P是函數y=

1

2

x（x＞0）圖象上一點，PA⊥x軸于點A，交函數y=

1

x

（x＞0）圖象于點M，PB⊥y軸于點B，交函數y=

1

x

（x＞0）圖象于點N．（點M、N不重合）
（1）當點P的橫坐標為2時，求△PMN的面積；
（2）判斷MN與BA的位置關系并說明理由；
（3）試問：△OMN能否為直角三角形？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用題中已知條件求出M和N的坐標，然后求出△PMN的面積；
（2）利用相似三角形，通過證明PM，PB和PN，PA相對成比例可證明△PAB∽△PMN．
（3）連接三個點，分別取三個點為頂點，求出不同情況下是否滿足題目要求．

解答：解：（1）∵點P是函數y=

1

2

x（x＞0）圖象上一個點，當點P的橫坐標為2，
∴點P為（2，1），
由題意可得：M為（2，

1

2

），N為（1，1）
∴S_△PMN=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

；

（2）令點P為（2a，a），（a＞0）
則A（2a，0），B（0，a），M（2a，

1

2a

），N（

1

a

，a），
∴

PA

PB

=

a

2a

=

1

2

，

PM

PN

=

a- 1 2a

2a- 1 a

=

1

2

，
即

PA

PB

=

PM

PN

∴MN∥AB；

（3）由（2）得，ON2=a2+

1

a2

，OM2=4a2+

1

4a2

，
易知∠MON≠90°，
∴當∠ONM=90°時，
有4a2+

1

4a2

=a2+

1

a2

+5a2-5+

5

4a2

，
解得a1=

2

，a2=

2

2

（舍去），即點P為（2

2

，

2

），
同理當∠OMN=90°時，點P為（

2

2

，

2

4

）．
綜上所述，當點P為（2

2

，

2

）或（

2

2

，

2

4

）時，能使△OMN為直角三角形．

點評：本題主要考查反比例函數的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形性質以及用分類討論解題的思路，此題難度較大．