Question

已知點P是函數(shù)y=

1

2

x（x＞0）圖象上一點，PA⊥x軸于點A，交函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象于點M，PB⊥y軸于點B，交函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象于點N．（點M、N不重合）
（1）當點P的橫坐標為2時，求△PMN的面積；
（2）證明：MN∥AB；
（3）試問：△OMN能否為直角三角形？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用題中已知條件求出M和N的坐標，然后求出△PMN的面積；
（2）利用相似三角形，通過證明PM，PB和PN，PA相對成比例可證明△PAB∽△PMN．
（3）連接三個點，分別取三個點為頂點，求出不同情況下是否滿足題目要求．

解答：解：（1）∵點P是函數(shù)y=

1

2

x（x＞0）圖象上一個點，當點P的橫坐標為2，
∴點P為（2，1），（1分）
由題意可得：M為（2，

1

2

），N為（1，1）（2分）
∴S△PMN=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

；（1分）

（2）令點P為（2a，a），（a＞0）（1分）
則A(2a，0)，B(0，a)，M(2a，

1

2a

)，N(

1

a

，a)，
∴

PA

PB

=

a

2a

=

1

2

，

PM

PN

=

a- 1 2a

2a- 1 a

=

1

2

，（1分）
即

PA

PB

=

PM

PN

（1分）
∴MN∥AB；（1分）

（3）由（2）得，ON2=a2+

1

a2

，OM2=4a2+

1

4a2

，
易知∠MON≠90°，
∴當∠ONM=90°時，
有4a2+

1

4a2

=a2+

1

a2

+5a2-5+

5

4a2

，
解得a1=

2

，a2=

2

2

（舍去），即點P為(2

2

，

2

)，（2分）
同理當∠OMN=90°時，點P為(

2

2

，

2

4

)．（2分）
綜上所述，當點P為(2

2

，

2

)與(

2

2

，

2

4

)時，能使△OMN為直角三角形．

點評：本題考查對于一次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的掌握．