Question

推理運算
已知點P是函數(shù)（x＞0）圖象上一點，PA⊥x軸于點A，交函數(shù)（x＞0）圖象于點M，PB⊥y軸于點B，交函數(shù)（x＞0）圖象于點N．（點M、N不重合）
（1）當點P的橫坐標為2時，求△PMN的面積；
（2）判斷MN與BA的位置關(guān)系并說明理由；
（3）試問：△OMN能否為直角三角形？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點P是函數(shù)y=x（x＞0）圖象上一個點，當點P的橫坐標為2，
∴點P為（2，1），
由題意可得：M為（2，），N為（1，1）
∴S_△PMN=×1×=；

（2）令點P為（2a，a），（a＞0）
則A（2a，0），B（0，a），M（2a，），N（，a），
∴==，==，
即=
∴MN∥AB；

（3）由（2）得，ON2=a2+，OM2=4a2+，
易知∠MON≠90°，
∴當∠ONM=90°時，
有4a2+=a2++5a2-5+，
解得a1=，a2=（舍去），即點P為（2，），
同理當∠OMN=90°時，點P為（，）．
綜上所述，當點P為（2，）或（，）時，能使△OMN為直角三角形．
分析：（1）利用題中已知條件求出M和N的坐標，然后求出△PMN的面積；
（2）利用相似三角形，通過證明PM，PB和PN，PA相對成比例可證明△PAB∽△PMN．
（3）連接三個點，分別取三個點為頂點，求出不同情況下是否滿足題目要求．
點評：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形性質(zhì)以及用分類討論解題的思路，此題難度較大．