Question

已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按圖①擺放（點C與E重合），點B，C，E，F始終在同一條直線上，∠ACB=∠EDF=90°，DE=DF，AC=8，BC=6，EF=10．如圖②，△DEF從圖①位置出發，以每秒1個單位的速度沿CB向△ABC勻速運動，同時，點P從點A出發，沿AB以每秒1個單位的速度向點B勻速運動，AC與△DEF的直角邊相交于點Q，當E到達終點B時，△DEF與點P同時停止運動，連接PQ，設移動的時間為t（s）．解答下列問題：
（1）當D在AC上時，求t的值；
（2）在P點運動過程中，是否存在點P，使△APQ為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）連接PE，設四邊形APEQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據等腰三角形性質求出即可；
（2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根據相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根據相似得出比例式，④當5≤t≤10時，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似與勾股定理，即可求出答案；
（3）根據四邊形APEQ的面積=

1

2

AC•BC-

1

2

EC•EQ-

1

2

BE•PM，由三角形的面積之差就可以表示出四邊形的面積，分兩種情況可以求出y與t之間的關系式．

解答：解：（1）當D在AC上時，
∵DE=DF，
∴EC=CF=

1

2

EF=5，
∴t=5；

（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，當0≤t＜5時，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=

1

2

AQ=4-

1

2

t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴

AP

AH

=

AB

AC

，即

t

4- 1 2 t

=

10

8

，
解得，t=

40

13

；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=

1

2

AP=

1

2

t（等腰三角形的性質三線合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴

AI

AQ

=

AC

AB

，即

1 2 t

8-t

=

8

10

，解得t=

64

13

；
④當5≤t≤10時，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，
PH=

4

5

（10-t）=8-

4

5

t，
BH=

3

5

（10-t）=6-

3

5

t，
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-

4

5

t）=2-

t

5

，PG=HC=6-（6-

3

5

t）=

3

5

t，
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ ²=PG ²+QG ²，
（t-2）²=（

3

5

t）²+（2-

t

5

）²，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

16

3

秒，
綜合上述：當t等于4秒、

40

13

秒、

64

13

秒、

16

3

秒時△APQ是等腰三角形．

（3）如圖4，過點P作PM⊥BE于M，
∴∠BMP=90°．
∴△ABC∽△PBM，
∴

AC

PM

=

AB

PB

，
∴

8

PM

=

10

10-t

，
∴PM=8-

4

5

t．
①當0＜t＜5時，
y=

1

2

AC•BC-

1

2

EC•EQ-

1

2

BE•PM
=

1

2

×8×6-

1

2

×t×t-

1

2

×（6-t）（8-

4

5

t），
=-

9

10

t²+

32

5

t；
②如圖5，當5≤t＜6時，
y=

1

2

×8×6-

1

2

×t×（10-t）-

1

2

×（6-t）（8-

4

5

t），
=

1

10

t²+

7

5

t．
綜上所述，y與t之間的函數關系式為：y=

- 9 10 t2+ 32 5 t(0＜t＜5) 1 10 t2+ 7 5 t(5≤t＜6)

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、利用三角形的面積公式求二次函數的解析式，勾股定理的運用，特殊圖形的面積的求法等知識，圖形較復雜，考查學生數形結合的能力，綜合性強，難度較大．