Question

7．在等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，點O、點P分別在射線AD、BA上的運動，且保證∠OCP=60°，連接OP．
（1）當點O運動到D點時，如圖一，此時AP=AD，△OPC是什么三角形．
（2）當點O在射線AD其它地方運動時，△OPC還滿足（1）的結論嗎？請用利用圖二說明理由．
（3）令AO=x，AP=y，請直接寫出y關于x的函數表達式，以及x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質得到∠B=∠ACB=30°，求得∠ACP=30°，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）過C作CE⊥AP于E，根據等邊三角形的性質得到CD=CE，根據全等三角形的性質得到OC=OP，由等邊三角形的判定即可得到結論；
（3）在AB上找到Q點使得AQ=OA，則△AOQ為等邊三角形，根據求得解實現的性質得到PA=BQ，求得AC=AO+AP，即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=30°，
∵∠OCP=60°，
∴∠ACP=30°，
∵∠CAP=180°-∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=60°，
在△ADC與△APC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠DAC}\\{AC=AC}\\{∠ACD=∠ACP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACP，
∴CD=CP，
∴△PCO是等邊三角形；
故答案為：AD；
（2）△OPC還滿足（1）的結論，
理由：過C作CE⊥AP于E，
∵∠CAD=∠EAC=60°，
AD⊥CD，
∴CD=CE，
∴∠DCE=60°，
∴∠OCE=∠PCE，
在△OCD與△PCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEC=∠ODC=90°}\\{∠OCD=∠PCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△PCE，
∴OC=OP，
∴△OPC是等邊三角形；
（3）在AB上找到Q點使得AQ=OA，則△AOQ為等邊三角形，
則∠BQO=∠PAO=120°，
在△BQO和△PAO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BQO=∠PAO}\\{∠ABO=∠APO}\\{OB=OP}\end{array}\right.$，
∴△BQO≌△PAO（AAS），
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC=AO+AP，
∵AO=x，AP=y，
∴y=-x+2，（0＜x＜2）；

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△BQO≌△PAO是解題的關鍵．