Question

八年級數學課上，曹老師出示了如下框中的題目．（本題8分）

小聰與同桌小明討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況·探索結論

當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關系．請你直接寫出結論：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝” ）．

（2）特例啟發·解答題目

【解析】
題目中， AE與DB的大小關系是：AE_____DB（填“＞”，“＜”或“＝” ）．

理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，

（請你完成以下解答過程）

（3）拓展結論·設計新題

在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC．

若△ABC的邊長為2，AE＝4，求CD的長（請你直接寫出結果）．

 

Answer 1

（1）AE＝DB；（2）AE=DB證明△CEF≌△EDB；（3）CD的長2或6

【解析】

試題分析：（1）當E為中點時，過E作EF∥BC交AC于點F，則可證明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；（2）類似（1）過E作EF∥BC交AC于點F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；（3）分點E在AB上和在BA的延長線上，類似（2）證得全等，再利用平行得到．

試題解析：1）如圖1，過點E作EF∥BC，交AC于點F， ∵△ABC為等邊三角形，∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，∴∠EDB=∠FEC，在△BDE和△FEC中，∠EBD=∠EFC，∠EDB=∠FEC，ED=EC，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD=EF， ∴AE=BD，故答案為：=；（2）如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，∵△ABC為等邊三角形，∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，∴∠EDB=∠FEC，在△BDE和△FEC中，EBD=∠EFC，∠EDB=∠FEC，ED=EC，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD=EF，∴AE=BD，故答案為：=；（3）CD的長2或6．

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．等邊三角形的判定與性質．