Question

（1）如圖1，正三角形ABC內接于⊙O，P是劣弧BC上的任意一點，連接PB、PC，求證：PB+PC=PA．
（2）如圖2，四邊形ABCD中，△ABM與△CDN是分別以AB、CD為一邊的圓的內接正三角形，E、F分別在這兩個三角形的外接圓上．請指出E、F兩點的位置，使得AE+EB+EF+FC+FD的值最小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）在PA上截取PD=PB，連結BD，根據等邊三角形的性質得∠ABC=∠ACB=60°，AB=CB，再根據圓周角定理得∠BPD=∠ACB=60°，則可判斷△PBD為等邊三角形，所以
∠PBD=60°，BD=BP，易得∠ABD=∠CBP，然后根據“SAS”可判斷△ABD≌△CBP，則AD=CP，于是可得到結論；
（2）連結ME、NF，利用（1）的結論得EA+EB=ME，FC+FD=FN，則AE+EB+EF+FC+FD=ME+EF+FN，然后根據兩點之間線段最短得到當點M、E、F、N共線時，ME+EF+FN的值最小．
解答：（1）證明：在PA上截取PD=PB，連結BD，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=CB，
∴∠BPD=∠ACB=60°，
∴△PBD為等邊三角形，
∴∠PBD=60°，BD=BP，
∴∠ABC-∠DBC=∠PBD-∠DBC，即∠ABD=∠CBP，
∵在△ABD和△CBP中，
，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴AD=CP，
∴AP=AD+DP=CP+BP，
即PB+PC=PA；

（2）當點E、F為直線MN與兩圓的交點時，AE+EB+EF+FC+FD的值最小．
證明：連結ME、NF，如圖，
由（1）的結論得EA+EB=ME，FC+FD=FN，
∴AE+EB+EF+FC+FD=ME+EF+FN，
∴當點M、E、F、N共線時，ME+EF+FN的值最小，
此時點E、F為直線MN與兩圓的交點．
點評：本題考查了圓的綜合題：圓周角定理是圓中證明角相等常用的定理；熟練掌握等邊三角形的判定與性質以及三角形全等的判定與性質；運用兩點之間線段最短解決幾何中的最小值問題．