Question

【題目】如圖，已知l1∥l2，射線(xiàn)MN分別和直線(xiàn)l1，l2交于A、B，射線(xiàn)ME分別和直線(xiàn)l1，l2交于C、D，點(diǎn)P在A、B間運(yùn)動(dòng)（P與A、B兩點(diǎn)不重合），設(shè)∠PDB=α，∠PCA=β，∠CPD=γ．

（1）試探索α，β，γ之間有何數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．

（2）如果BD=3，AB=9，AC=6，并且AC垂直于MN，那么點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ACP≌△BPD說(shuō)明理由．

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△ACP≌△BPD時(shí)，PC與PD之間有何位置關(guān)系，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠γ=α+∠β；（2）當(dāng)AP=BD=3，△ACP≌△BPD.（3）CP⊥PD

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)P作PF∥l1，根據(jù)l1∥l2，可知PF∥l2，故可得出∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，由此即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到BD⊥MN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACP=∠DPB，根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論．

解：（1）∠γ=α+∠β，

理由：過(guò)點(diǎn)P作PF∥l1（如圖1），

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，

∴∠γ=∠DPF+∠CPF=α+∠β；

（2）當(dāng)AP=BD=3，△ACP≌△BPD，

∵l1∥l2，AC垂直于MN，

∴BD⊥MN，

∴∠CAP=∠PBD=90°，

∵AB=9，

∴PB=6，

∴AC=PB，

在△CAP與△PBD中，，

∴△ACP≌△BPD，

∴當(dāng)AP=3時(shí)，△ACP≌△BPD；

（3）CP⊥PD，

理由：∵△ACP≌△BPD，

∴∠ACP=∠DPB，

∵∠ACP+∠APC=90°，

∴∠APC+∠DPB=90°，

∴∠CPD=90°，

∴CP⊥PD．