Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)（AOAB）且AO、AB的長(zhǎng)分別是一元二次方程x23x20的兩個(gè)根，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且AB：AC=1:2.

（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，連接AM，設(shè)△ABM的面積為S，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，寫(xiě)出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

（3）點(diǎn)P是y軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(1，0)，C(-3，0)；(2) （3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，）.

【解析】

（1）根據(jù)方程求出AO、AB的長(zhǎng)，再由AB：AC=1:2求出OC的長(zhǎng)，即可得到答案；

（2）分點(diǎn)M在CB上時(shí)，點(diǎn)M在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，兩種情況討論S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）分AQ=AB,BQ=BA,BQ=AQ三種情況討論可求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（1）x23x20，

（x-1）（x-2）=0，

∴x1=1，x2=2，

∴AO=1，AB=2，

∴A(1，0)， ，

∵AB：AC=1:2,

∴AC=2AB=4，

∴OC=AC-OA=4-1=3，

∴C(-3，0).

(2) ∵,

∴,

∵,

∴,

∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90，

由題意得：CM=t，BC=,

當(dāng)點(diǎn)M在CB上時(shí)， ，

②當(dāng)點(diǎn)M在CB延長(zhǎng)線上時(shí)， （t＞）.

綜上，.

（3）存在，

①當(dāng)AB是菱形的邊時(shí)，如圖所示，

在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，∴ Q1(-1，0)，

在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，∴Q2(1，2)，

在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，∴Q3(1，-2)；

②當(dāng)AB為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖所示，

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則在Rt△AP4O中，

，

解得x=，

∴Q4（1，）.

綜上，平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，）.