Question

9．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點G是$\widehat{AD}$上一點，連結AG，CG．
（1）試找出與∠AGC相等的角，并進行證明；
（2）若AB∥DG，求證；△ACG與△ACE相似；
（3）若OE=BE，求∠AGC的度數．

Answer 1

分析 （1）結論：∠ACE=∠AGC．首先證明AB垂直平分CD，推出AC=AD，∠ACD=∠ADC，因為∠AGC=∠ADC，由此即可證明．
（2）如圖2中，由DG∥AB，推出∠AEC=∠CDG=90°，推出CG是直徑，推出∠CAG=90°，由此即可證明．
（3）如圖3中，連接OC、BC．只要證明△OBC是等邊三角形即可解決問題．

解答 解：（1）結論：∠ACE=∠AGC．理由如下：
如圖1中，連接AD．

∵AB是直徑，AB⊥CD，
∴EC=ED，
∴AD=AC，
∴∠ACE=∠ADC，
∵∠AGC=∠ADC，
∴∠ACE=∠AGC．

（2）證明：如圖2中，

∵DG∥AB，
∴∠AEC=∠CDG=90°，
∴CG是直徑，
∴∠CAG=90°，
∵∠CAG=∠AEC=90°，∠AGC=∠ACE，
∴△ACG∽△EAC．

（3）解：如圖3中，連接OC、BC．

∵OE=EB，CE⊥OB，
∴CO=CB=OB，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠AGC=∠B=60°．

點評 本題考查相似三角形綜合題、圓的有關知識、直徑的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、線段的垂直平分線的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．