Question

（本題滿分12分）在△ABC中， AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小華同學在解答這道題時，先畫一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．這種方法叫做構(gòu)圖法．

（1）△ABC的面積為： ．

（2）若△DEF三邊的長分別為、、，請在圖2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的

△DEF，并利用構(gòu)圖法求出它的面積為_____________．

（3）如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（4）如圖4，一個六邊形的花壇被分割成7個部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為13m2、25m2、36m2，則六邊形花壇ABCDEF的面積是 m2．

 

 

Answer 1

（1）3.5；（2）畫圖；面積為7；（3）EP=AG=FQ （4）110

【解析】

試題分析：（1）利用△ABC所在的正方形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，計算即可得解；

（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，計算即可得解；

（3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角邊”證明△ABG和△EAP全等，同理可證△ACG和△FAQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EP=AG=FQ；

（4）過R作RH⊥PQ于H，設(shè)PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解無理方程求出h，從而求出△PQR的面積，再根據(jù)六邊形被分成的四個三角形的面積相等，總面積等于各部分的面積之和列式計算即可得解．

試題解析：

（1）△ABC的面積=3×3-×2×1-×3×1-×2×3=，

=9-1-1.5-3，

=9-5.5，

=3.5；

（2）△DEF如圖2所示；

面積=2×4-×1×2-×2×2-×1×4

=8-1-2-2

=8-5

=3

（3）∵△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=AE，∠BAE=90°，

∴∠PAE+∠BAG=180°-90°=90°

又∵∠AEP+∠PAE=90°

∴∠BAG=∠AEP

在△ABG和△EAP中，

∴

同理可證，

∴EP=AG=FQ

（4）如圖4，過R作RH⊥PQ于H，設(shè)PH=h，

在Rt△PRH中，PH=

在Rt△RQH中，QH=

∴PQ=

解得h=3

∴S△PQR=×6×3=9

∴六邊形花壇ABCDEF的面積=25+13+36+4×9=74+36=110m2．

故答案為：（1）3.5；（2）3；（4）110．

考點：勾股定理，三角形全等判定和性質(zhì)，幾何圖形的面積