Question

2．如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD與Q，PQ=4，PE=1．
（1）求∠BPQ的度數；
（2）求AD的長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質可知AB=AC，∠BAC=∠C=60°．依據SAS可證明△ABE≌△CAD，依據全等三角形的性質可得到∠ABE=∠CAD，最后結合三角形的外角的性質求解即可；
（2）先求得∠PBQ=30°，然后依據含30度直角三角形的性質可求得BP=8，故此可求得BE=9，最后依據全等三角形的性質可得到AD=BE=9

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．
∵在△ABE和△CAD中$\left\{\begin{array}{l}{DC=AE}\\{∠C=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD．
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ是△ABP的一個外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．
（2）解：∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°．
又由（1）知，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°．
∴BP=2PQ=2×4=8．
∴BE=BP+PE=8+1=9．
又∵由（1）知△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=9．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質和判定、等邊三角形的性質、含30°直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理、等邊三角形的性質、含30°直角三角形的性質是解題的關鍵．