Question

1．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，動點P從點A出發沿A→B→C運動，動點Q從點B出發沿B→C→A運動．如果P、Q兩點同時出發，速度均為1個單位/秒．設出發時間為x秒（0≤x≤8），記△PBQ的面積y₁的函數圖象為T．若直線y₂=x+b與T只有一個交點，則b的取值范圍為b=-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或4$\sqrt{2}$-8＜b＜0或b=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 分0≤x≤4和4＜x≤8兩種情況，利用三角形的面積公式找出y₁關于x函數關系式，依此畫出圖象T，再逐一分析直線y₂=x+b與T相切或過（0，0）、（8，4$\sqrt{2}$）時b的值，結合圖形即可得出結論．

解答 解：當0≤x≤4時，y₁=$\frac{1}{2}$PB•BQ=$\frac{1}{2}$（4-x）x=-$\frac{1}{2}$x²+2x；
當4＜x≤8時，過點Q作QD⊥BC與點D，如圖1所示，
∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，
∴∠ACB=45°，
∴QD=CQ•sin∠ACB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-4），
∴y₁=$\frac{1}{2}$BP•QD=$\frac{1}{2}$（x-4）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-4）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）²．
畫出函數圖象T，如圖2所示．
當直線y₂=x+b與y₁=-$\frac{1}{2}$x²+2x（0≤x≤4）相切時，將y₂=x+b代入y₁=-$\frac{1}{2}$x²+2x中，
整理得：-$\frac{1}{2}$x²+x-b=0，
∵△=1²-4×（-$\frac{1}{2}$）×（-b）=0，
∴b=$\frac{1}{2}$；
當直線y₂=x+b過點（0，0）時，有0=b；
當直線y₂=x+b過點（8，4$\sqrt{2}$）時，有4$\sqrt{2}$=8+b，
解得：b=4$\sqrt{2}$-8；
當直線y₂=x+b與y₁=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）²（4＜x≤8）相切時，將y₂=x+b代入y₁=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）²中，
整理得：$\sqrt{2}$x²-（8$\sqrt{2}$+4）x+16-4b=0，
∵△=$[-（8\sqrt{2}+4）]^{2}$-4×$\sqrt{2}$×（16-4b）=0，
∴b=-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．
綜上所述：當直線y₂=x+b與T只有一個交點，b的取值范圍為b=-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或4$\sqrt{2}$-8＜b＜0或b=$\frac{1}{2}$．
故答案為：b=-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或4$\sqrt{2}$-8＜b＜0或b=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了動點問題的函數圖象、三角形的面積、根的判別式以及一次函數圖象上點的坐標特征，依照題意畫出圖象T，利用數形結合解決問題是解題的關鍵．