Question

如圖是二次函數y=（x+2）²的圖象，頂點為A，與y軸的交點為B．
（1）求經過A、B兩點的直線的函數關系式；
（2）若⊙M的圓心為M（m，0），半徑為r，過A向該圓作切線，切點為N．請求出所有能使△AMN與△ABO全等的m、r的值；
（3）請在第二象限中的拋物線上找一點C，使△ABC的面積與△ABO的面積相等．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式可得出A、B兩點的坐標，然后用待定系數法即可求出過A、B兩點的直線的解析式．
（2）由于AN與⊙M相切，且切點為N，要想使△AMN≌△ABO，兩直角三角形的斜邊必相等，因此|AM|=|AB|，由此可得出M點的坐標以及半徑的長．
（3）可設存在這樣的C點，過C作CD⊥x軸于D，可根據拋物線的解析式設出C點的坐標，進而可表示出CD、OD的長，然后可根據梯形OBCD的面積=△ACD的面積+△ABC的面積+△AOB的面積，由于△ABC的面積與△ABO的面積相等，因此等量關系可列成：
梯形OBCD的面積=△ACD的面積+2倍的△ABO的面積，由此可求出C點的坐標．

解答：解：（1）A（-2，0），B（0，4）
設過A、B的直線的函數關系式為y=kx+b
有

0=-2k+b 4=b

，
解得：

b=4 k=2

，
∴函數關系式為：y=2x+4．

（2）要使△AMN與△ABO全等，
|AM|=|AB|=

22+42

=2

5

即|m+2|=2

5

，
∴m=2

5

-2或m=-2

5

-2
∴r=2或4．
故有四組解：

m1=2 5 -2 r1=2

，

m2=2 5 -2 r2=4

m3=-2 5 -2 r3=2

，

m4=-2 5 -2 r4=4

（3）過C作CD⊥x軸于D點，
令C（a，b），有b=（a+2）²
∴|CD|=b，|BO|=4，|DO|=-a，|DA|=-2-a，|OA|=2
S_△ABC=S_梯形CDOB-S_△CDA-S_△AOB
=（b+4）（-

a

2

）-

1

2

（-2-a）b-4
而S_△ABC=S_△AOB=4
因此原式可化簡為：-2a+b-8=0
∴（a+2）²-2a-8=0
a₁=-1+

5

（不合題意舍去）a₂=-1-

5

∴C（-1-

5

，6-2

5

）．

點評：本題著重考查了待定系數法求一次函數解析式、三角形全等、二次函數的應用等知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．