Question

11．閱讀下面材料：
在數學課上，老師提出利用尺規作圖完成下面問題：
已知：∠ACB是△ABC的一個內角．
求作：∠APB=∠ACB．
小明的做法如下：
如圖
①作線段AB的垂直平分線m；
②作線段BC的垂直平分線n，與直線m交于點O；
③以點O為圓心，OA為半徑作△ABC的外接圓；
④在弧ACB上取一點P，連結AP，BP．
所以∠APB=∠ACB．
老師說：“小明的作法正確．”
請回答：
（1）點O為△ABC外接圓圓心（即OA=OB=OC）的依據是①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；②等量代換；
（2）∠APB=∠ACB的依據是同弧所對的圓周角相等．

Answer 1

分析 （1）根據線段的垂直平分線的性質定理以及等量代換即可得出結論．
（2）根據同弧所對的圓周角相等即可得出結論．

解答 解：（1）如圖2中，

∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，
∴OA=OB，OB=OC（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等），
∴OA=OB=OC（等量代換）
故答案為①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；②等量代換．

（2）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AB}$，
∴∠APB=∠ACB（同弧所對的圓周角相等）．
故答案為同弧所對的圓周角相等．

點評 本題考查作圖-復雜作圖、線段的垂直平分線的性質、三角形的外心等知識，解題的關鍵是熟練掌握三角形外心的性質，屬于中考常考題型．