Question

如圖，將一張長為1、寬為a的長方形紙片（

1

2

＜a＜1）折一下，剪下一個邊長等于寬度a的正方形（稱為第一次操作）；再將剩下的長方形如圖折一下，再次剪下一個邊長等于該長方形寬度的正方形（稱為第二次操作）…如此反復操作下去，直到第n次操作后，剩下的小長方形為正方形時停止操作．當n=3時，a的值為

3

5

或

3

4

．

Answer 1

分析：根據操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬．當

1

2

＜a＜1時，矩形的長為1，寬為a，所以第一次操作時所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為1-a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=2-3a，所以（1-a）與（2a-1）的大小關系不能確定，需要分情況進行討論．又因為可以進行三次操作，故分兩種情況：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值．

解答：解：如果1-a＞2a-1，即a＜

2

3

，第二次操作剩余的矩形的長是：1-a，寬是a-（1-a）=2a-1；
第三次操作剩余的矩形的長是a-（1-a）=2a-1，寬是：（1-a）-（2a-1）=2-3a．
根據題意得：2a-1=2-3a．
解得：a=

3

5

．
如果1-a＜2a-1，即a＞

2

3

，那么第三次操作時正方形的邊長為1-a．
則1-a=（2a-1）-（1-a），
解得a=

3

4

．
故答案為

3

5

或

3

4

．

點評：本題考查了矩形的折疊問題，正確表示出每次折疊以后剩余的矩形的長和寬是解題的關鍵．