Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM．點P，Q同時由B，A兩點出發，分別沿射線BC，AC方向以1cm/s的速度勻速運動．

（1）幾秒后△PCQ的面積是△ABC面積的一半？

（2）連結BQ，幾秒后△BPQ是等腰三角形？

Answer 1

（1）2秒或12秒時△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．（2）t=、12或14±4時，△BPQ是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）設P、Q同時出發，x秒鐘后，當0＜x＜6時，當6＜x＜8時，當x＞8時，由此等量關系列出方程求出符合題意的值；

（2）分別根據①當BP=BQ時，②當PQ=BQ時，③當BP=PQ時，利用勾股定理求出即可．

試題解析：（1）設運動x秒后，△PCQ的面積是△ABC面積的一半，

當0＜x＜6時，

S△ABC=×AC•BC=×6×8=24，

即：×（8-x）×（6-x）=×24，

x2-14x+24=0，

（x-2）（x-12）=0，

x1=12（舍去），x2=2；

當6＜x＜8時，

×（8-x）×（x-6）=×24，

x2-14x+72=0，

b2-4ac=196-288=-92＜0，

∴此方程無實數根，

當x＞8時，

S△ABC=×AC•BC=×6×8=24，

即：×（x-8）×（x-6）=×24，

x2-14x+24=0，

（x-2）（x-12）=0，

x1=12，x2=2（舍去），

所以，當2秒或12秒時使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．

（2）設t秒后△BPQ是等腰三角形，

①當BP=BQ時，t2=62+（8-t）2，

解得：t=；

②當PQ=BQ時，（6-t）2+（8-t）2=62+（8-t）2，

解得：t=12；

③當BP=PQ時，t2=（6-t）2+（8-t）2，

解得：t=14±4．

所以：當t=、12或14±4時，△BPQ是等腰三角形．

考點：一元二次方程的應用．