Question

已知：如圖，P是矩形ABCD的CD邊上一點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AC=15，BC=8，求PE+PF．

Answer 1

分析：由四邊形ABCD為矩形，得到對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分且相等，由OD=OC，利用等邊對(duì)等角設(shè)∠BDC=∠DCA=α，在直角三角形PCE中，利用正弦函數(shù)的定義表示出PE，在直角三角形PDF中，利用正弦函數(shù)的定義表示出PF，代入PE+PF中提取公因式，且由PD+PC=CD化簡(jiǎn)，在直角三角形BCD中，由BD與BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形BCD中，利用正弦函數(shù)定義，及BD于BC的長(zhǎng)，求出sinα的值，由DC與sinα的值即可求出PE+PF的值．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BD=AC=15，OD=OC，
∴設(shè)∠BDC=∠DCA=α，
在Rt△PCE中，sin∠DCA=sinα=

PE

PC

，
∴PE=PCsinα，
在Rt△PDF中，sin∠BDC=sinα=

PF

DP

，
∴PF=PDsinα，
∴PE+PF=PCsinα+PDsinα=CDsinα，
∵在Rt△BCD中，BD=15，BC=8，
∴sinα=

8

15

，CD=

BD2-BC2

=

161

，
∴PE+PF=

161

×

8

15

=

8 161

15

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的題型，涉及的知識(shí)有：勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．