Question

19．定義：如圖1，點M、N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點
（1）已知點M、N是線段AB的勾股分割點，若AM=3，MN=4直接寫出BN的長；
（2）如圖2，在△ABC中，FG∥BC，點D、E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE≥BD，連接AD、AE分別交FG于點M，N，求證：點M，N是線段FG的勾股分割點；
（3）已知點C是線段AB上的一定點，其位置如圖3所示，請在BC上畫一點D，使C、D是線段AB的勾股分割點（要求簡單說明作圖過程，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）

Answer 1

分析 （1）當MN為最大線段時，由勾股定理求出BN；②當BN為最大線段時，由勾股定理求出BN即可；
（2）根據平行線分線段成比例定理得到$\frac{FM}{BD}=\frac{AM}{MD}=\frac{MN}{DE}=\frac{AN}{NE}=\frac{GN}{CE}$=k．根據EC²=BD²+DE²，得到$\frac{1}{{k}^{2}}$GN²=$\frac{1}{{k}^{2}}$FM²+$\frac{1}{{k}^{2}}$MN²，于是得到結論；
（3）①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；

解答 解：（1）當MN為最大線段時，
∵點M，N是線段AB的勾股分割點，
∴BM=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，
當BN為最大線段時，
∵點M，N是線段AB的勾股分割點，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}=\sqrt{16+9}=5$，
綜上，BN=$\sqrt{7}$或5；
（2）證明：∵FG∥BC，
∴$\frac{FM}{BD}=\frac{AM}{MD}=\frac{MN}{DE}=\frac{AN}{NE}=\frac{GN}{CE}$=k．
∴FM=kBD，MN=kDE，GN=kCE．
∴EC²=BD²+DE²，
∴$\frac{1}{{k}^{2}}$GN²=$\frac{1}{{k}^{2}}$FM²+$\frac{1}{{k}^{2}}$MN²，
∴NG²=FM²+MN²．
∴點M，N是線段FG的勾股分割點；
（3）作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；
③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；
點D即為所求；如圖2所示．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了新定義“勾股分割點”、勾股定理、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質、本題難度較大，綜合性強．