Question

如圖所示，在以O為圓心的兩個同心圓中，小圓的半徑為1，AB與小圓相切于點A，與大圓相交于點B，大圓的弦BC⊥AB于點B，過點C作大圓的切線CD交AB的延長線于點D，連接OC交小圓于點E，連接BE、BO．

(1)求證：△AOB∽△BDC；

(2)設(shè)大圓的半徑為x，CD的長為y：

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當BE與小圓相切時，求x的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：如圖，∵AB與小圓相切于點A，CD與大圓相交于點C， 　　∴∠OAB＝∠OCD＝90° 　　∵BC⊥AB 　　∴∠CBA＝∠CBD＝90°　1分 　　∵∠1＋∠OBC＝90° 　　∠2＋∠OCB＝90° 　　又∵OC＝OB 　　∴∠OBC＝∠OCB 　　∴∠1＝∠2　2分 　　∴△AOB∽△BDC　3分 　　(2)解：①過點O作OF⊥BC于點F，則四邊形OABF是矩形　4分 　　∴BF＝OA＝1 　　由垂徑定理，得BC＝2BF＝2　5分 　　在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝x 　　∴AB＝＝　6分 　　由(1)得△AOB∽△BDC 　　∴ 　　即＝ 　　∴y＝(或y＝)　7分 　　②當BE與小圓相切時，OE⊥BE 　　∵OE＝1，OC＝x 　　∴EC＝x－1　BE＝AB＝　8分 　　在Rt△BCE中，EC2＋BE2＝BC2 　　即(x－1)2＋()2＝22　9分 　　解得：x1＝2　x2＝－1(舍去)　10分 　　∴當BE與小圓相切時，x＝2　11分