Question

如圖所示，在以O為圓心的兩個同心圓中，小圓的半徑為1，AB與小圓相切于點A，與大圓相交于點B，大圓的弦BC⊥AB于點B，過點C作大圓的切線CD交AB的延長線于點D，連接OC交小圓于點E，連接BE、BO．
（1）求證：△AOB∽△BDC；
（2）設大圓的半徑為x，CD的長為y：
①求y與x之間的函數關系式；
②當BE與小圓相切時，求x的值．

Answer 1

分析：（1）由AB與小圓相切，CD與大圓相切，根據切線性質可得∠OAB與∠OCD相等，都為直角，又BC與AB垂直，根據垂直定義得到∠CBA與∠CBD都為直角，則∠1+∠OBC與∠2+∠OCB和都為90°，由OC=OB，根據“等邊對等角”得到∠OBC=∠OCB，根據等角的余角相等，得到∠1=∠2，由兩對對應角相等的兩三角形相似得證；
（2）①過O作OF垂直于BC，由三個角都為直角的四邊形為矩形得到ABOF為矩形，根據矩形的對邊相等，得到FB=OA，由OA的長得到FB的長，又BC為大圓的弦，利用垂徑定理得到BC=2BF，從而求出BC的長，在直角三角形OAB中，由OA=1，OB=x，利用勾股定理表示出AB，由（1）得到的三角形相似得比例，把相應的值代入即可得到y與x的關系式；
②當BE與小圓相切時，根據切線性質得到OE與BE垂直，由OE和OC表示出EC的長，根據切線長定理得到BE=BA，表示出EB，在直角三角形ECB中，由EC，EB及BC的長，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．

解答：（1）證明：
∵AB與小圓相切于點A，CD與大圓相切于點C，
∴∠OAB=∠OCD=90°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA=∠CBD=90°，（1分）
∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°，
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠1=∠2，（2分）
∴△AOB∽△BDC；（3分）

（2）解：①過點O作OF⊥BC于點F，則四邊形OABF是矩形（4分）
∴BF=OA=1，
由垂徑定理，得BC=2BF=2，（5分）
在Rt△AOB中，OA=1，OB=x
∴AB=

OB2-OA2

=

x2-1

，（6分）
由（1）得△AOB∽△BDC
∴

OB

CD

=

AB

BC

，即

x

y

=

x2-1

2

，
∴y=

2x

x2-1

=

2x x2-1

x2-1

；（7分）
②當BE與小圓相切時，OE⊥BE，
∵OE=1，OC=x，
∴EC=x-1，BE=AB=

x2-1

，（8分）
在Rt△BCE中，根據勾股定理得：EC²+BE²=BC²，
即（x-1）²+（

x2-1

）²=2²，（9分）
解得：x₁=2，x₂=-1（舍去），（10分）
∴當BE與小圓相切時，x=2．（11分）

點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理及垂徑定理．遇到切線，連接圓心與切點，是常常連接的輔助線，借助圖形，由切線的性質構造直角三角形，然后利用勾股定理解決問題．熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．