Question

（11·貴港）（本題滿分11分）
如圖所示，在以O為圓心的兩個同心圓中，小圓的半徑為1，AB與小圓相切于點A，與大圓相交于點B，大圓的弦BC⊥AB于點B，過點C作大圓的切線CD交AB的延長線于點D，連接OC交小圓于點E，連接BE、BO．

（1）求證：△AOB∽△BDC；
（2）設大圓的半徑為x，CD的長為y：
①求y與x之間的函數關系式；
②當BE與小圓相切時，求x的值．

Answer 1

（1）證明：如圖，∵AB與小圓相切于點A，CD與大圓相交于點C，

∴∠OAB＝∠OCD＝90°
∵BC⊥AB   ∴∠CBA＝∠CBD＝90°………………1分
∵∠1＋∠OBC＝90°   ∠2＋∠OCB＝90°
又∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∴∠1＝∠2………………2分
∴△AOB∽△BDC………………3分
（2）解：①過點O作OF⊥BC于點F，則四邊形OABF是矩形………………4分
∴BF＝OA＝1
由垂徑定理，得BC＝2BF＝2………………5分
在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝x
∴AB＝＝………………6分
由（1）得△AOB∽△BDC
∴＝  即＝
∴y＝（或y＝）………………7分
②當BE與小圓相切時，OE⊥BE
∵OE＝1，OC＝x
∴EC＝x－1 BE＝AB＝………………8分
在Rt△BCE中，EC²＋BE²＝BC²
即(x－1)²＋()²＝2²………………9分
解得：x₁＝2    x₂＝－1（舍去）………………10分
∴當BE與小圓相切時，x＝2………………11分

解析