Question

14．如圖，點O是△ABC外一點，連接OB、OC，線段AB、OB、OC、AC的中點分別為D、E、F、G，連接DE、EF、FG、GD．
（1）判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由；
（2）若M為EF的中點，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求線段DG的長．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的中位線得出EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，DG∥BC，求出EF∥DG，EF=DG，根據平行四邊形的判定得出即可；
（2）求出∠BOC=90°，根據直角三角形斜邊上的中線得出EF=2OM=4，即可求出答案．

解答 解：（1）四邊形DEFG是平行四邊形，
理由是：∵線段AB、OB、OC、AC的中點分別為D、E、F、G，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，DG∥BC，
∴EF∥DG，EF=DG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=180°-90°=90°，
∵M為EF的中點，OM=2，
∴EF=2OA=4，
∵EF=DG，
∴DG=4．

點評 本題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，直角三角形斜邊上中線性質的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．