Question

【題目】已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB=a＜1，以AB為一邊在圓O內作正△ABC，點D為圓O上不同于點A的一點，且DB=AB=a，DC的延長線交圓O于點E，則AE的長為（ ）

A. B. 1 C. D. a

Answer 1

【答案】B

【解析】

試題此題可通過證△EAC≌△OAB，得AE=OA，從而求出EA的長；

△EAC和△OAB中，已知的條件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；

四邊形ABDE內角于⊙O，則∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°﹣60°﹣∠D=120°﹣∠D；而∠ECA=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=120°﹣∠BCD，上述兩個式子中，由BD=AB=BC，易證得∠D=∠BCD，則∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而兩個等腰三角形的頂角相等，且底邊AC=AB，易證得兩個三角形全等，由此得解．

解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；

∵AB=BD，

∴，

∴∠AED=∠AOB；

∵BC=AB=BD，

∴∠D=∠BCD；

∵四邊形EABD內接于⊙O，

∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；

又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，

∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；

在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，

∵AC=AB，

∴△EAC≌△OAB；

∴AE=OA=1．

故選B．