Question

（2012•順平縣模擬）已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，AD為底邊BC上的高，且AD=3．將△ACD沿箭頭所示的方向平移，得到△A'CD'（如圖2），A'D'交AB于E，A'C分別交AB、AD 于G、F，以D'D為直徑作⊙O，設BD'的長為x，⊙O的面積為 y．
（1）求y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍（不考慮端點）；
（2）當BD'的長為多少時，⊙O的面積與△ABD的面積相等？（π取3，結果精確到 0.1）
（3）連接EF，求EF與⊙O 相切時x的值．

Answer 1

分析：（1）首先表示出圓的半徑，才能表示出面積，（2）求出△ABD的面積，在表示出⊙O的面積，即可求出．
（3）證明四邊形ED′DF是矩形，再利用三角形相似求出．

解答：解：（1）∵AB=AC=5，AD為底邊BC上的高，且AD=3．
∴BD=4，設BD'的長為x，⊙O的面積為y，
∴y=π(

4-2x

2

) 2=π（2-x）²（0≤x≤4）；

（2）∵S_△ABD=

1

2

×3×4=6，y=π（2-x）²=3（2-x）²，
∴（2-x）²=2，
∴解得：x=2±

2

，
BD′=2±

2

時，⊙O的面積與△ABD的面積相等；

（3）連接EF，
∵△BD′E≌△CDF，
∴ED′=FD，ED′∥FD，∠FDC=90°，
∴四邊形ED′DF是矩形，
∴DD′=EF，ED′=

1

2

DD′，
∵△BED′∽△BAD，
∴

BD′

BD

=

ED′

AD

，
∴

x

4

=

4-x 2

3

，
解得：x=

8

5

，
EF與⊙O 相切時x的值為

8

5

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，以及矩形的判定和求函數關系式，題目難度不大，非常典型．