Question

如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A、C、D三點在同一直線上，連接BD、AE，并延長AE交BD于F．
（1）求證：AE=BD；
（2）試判斷直線AE與BD的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據SAS判定△ACE≌△BCD，從而得到∠EAC=∠DBC，根據角之間的關系可證得AF⊥BD．
（2）互相垂直，只要證明∠AFD=90°，從而轉化為證明∠EAC+∠CDB=90°即可．

解答： （1）證明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，
在△ACE和△BCD，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）答：直線AE與BD互相垂直，理由為：
證明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，
又∵∠DBC+∠CDB=90°，
∴∠EAC+∠CDB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AF⊥BD，
即直線AE與BD互相垂直．

點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情況．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．